» » Решение задания С7 ЕГЭ. Профильный уровень. Подготовка к экзамену 11 класс. Урок 69.
Информация к новости
  • Просмотров: 3 618
  • Автор: abubakirova
  • Дата: 3-12-2015, 18:50
3-12-2015, 18:50

Решение задания С7 ЕГЭ. Профильный уровень. Подготовка к экзамену 11 класс. Урок 69.

Категория: С7

Урок 69

 

 

 Все уроки начиная с 1 вы можете посмотреть здесь

 

Тема урока: Малая теорема Ферма.

 

              Эта теорема  чрезвычайно полезна для решения задач на остатки степеней, и хотя она является  вполне серьезной теоремой из теории чисел и не входит в школьный курс, ее доказательство может быть проведено на нормальном школьном уровне. Оно может быть проведено различными способами, и одно из самых простых доказательств опирается на формулу бинома Ньютона, которая в настоящее время включена в стандарты для профильного курса математики, который, по существу, должны изучать все, кто собирается получать  высшее образование в вузах, требующих более глубокой  математической подготовки по сравнению с другими учащимися.

       Формулировка малой теоремы Ферма очень проста:

 

Если р - простое число, то для любого натурального а, не делящегося на р, разность  ар-а делится на р.

 

Можно ее  сформулировать иначе:

 

Если р - простое число, то для любого натурального а, не делящегося на р, разность ар-1 -1 делится на р.

 

 

        Иными словами, если р-простое, то остаток от деления степени ар-1 на р равен 1. Поэтому при вычислении  остатка от деления  степени 34746 на 13 мы сможем не только сразу же уменьшить  основание степени до 8 - остатка от деления  34 на 13, но заметив, что 812 при делении на 13 дает остаток 1, записать далее: 8745=812·62·8, поэтому искомый остаток равен 8.

 

         Очень удобно использовать эту теорему Ферма при решении задач с кратким ответом - правильный ответ  вы всегда сможете быстро получить, а никаких доказательств при решении таких задач не требуется, например в задаче:

 

Какой остаток при делении на 17 дает число 96514.?

 

малая теорема Ферма позволяет заменить заданную степень степенью с маленьким показателем: вместо показателя степени рассматривается его остаток от деления на 16.

       Ясно, что задача существенно упростилась, а дальнейшее решение удобно провести  с помощью сравнений, рассматривая  сравнения по модулю 17. Поскольку 96=11=-6, то 963≡(-6)≡-36·6≡-12≡5.

 

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.