» » Решение уравнений с параметрами. Задание 18. От простого к сложному. Урок 1.
Информация к новости
  • Просмотров: 2565
  • Автор: abubakirova
  • Дата: 25-12-2016, 14:42
25-12-2016, 14:42

Решение уравнений с параметрами. Задание 18. От простого к сложному. Урок 1.

Категория: С6, параметры

Решение уравнений с параметрами. 

Урок 1.

 
"От простого к сложному"         
 
 

 

Стоит ли решать уравнение с параметром?

 
 
 
     В школьном курсе математики задачам с параметрами отводится незначительное место.  Однако умение решать задачи такого типа необходимо для успешной сдачи экзамена по математике при поступлении в ВУЗ. Именно решение задач с параметрами вызывает у выпускников значительные затруднения. Процент выпускников, приступивших к её выполнению составляет 11-14% из года в год, а тех кто справился с заданием №18 ЕГЭ всего лишь 2-7%. За задачу с параметром дают  максимум 4 балла. Поэтому их стоит научиться решать.
Вот к примеру одно из таких заданий с параметром из ЕГЭ. Даже если прочитать готовое решение, то  сразу понять и разобраться сложно, без предварительной подготовки, не говоря о том, чтобы самому его решить от начала и до конца.
 
 
 

 

Задание 18


Най­ди­те все зна­че­ний a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма урав­не­ний
 

 

имеет ровно два раз­лич­ных ре­ше­ния.
 
 
 Решение.
За­пи­шем пер­вое урав­не­ние в виде Ре­ше­ния пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы сов­па­да­ют с ре­ше­ни­я­ми урав­не­ний и при усло­вии
При урав­не­ние имеет един­ствен­ное ре­ше­ние при любом зна­че­нии a.
При урав­не­ние при­ни­ма­ет вид от­ку­да C учётом усло­вия по­лу­ча­ем, что при ре­ше­ний нет, а при   а > -2 имеет одно решение

При урав­не­ние при­ни­ма­ет вид от­ку­да C учётом усло­вия по­лу­ча­ем, что при ре­ше­ний нет, а при имеет одно ре­ше­ние.
Опре­де­лим зна­че­ния a, при ко­то­рых воз­мож­ны сов­па­де­ния ре­ше­ний из трёх разо­бран­ных выше слу­ча­ев. Имеем: либо от­ку­да либо от­ку­да либо от­ку­да
Таким об­ра­зом, ис­ход­ная си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние при имеет два ре­ше­ния при и , имеет три ре­ше­ния при и
 
Ответ:

 

 

 

 

Что такое уравнение с параметром?

 
 
 
 
     В учебнике алгебра-8 авторов Ю.Н.Макарычев и другие впервые появляется тема "Уравнение с параметром". Точного определения, что такое уравнение с параметром там нет. И тема эта дана для тех, кто хочет знать больше. Отсюда можно понять, что задачи с параметрами в школьный курс математики не входят. Поэтому многие выпускники общеобразовательных школ особо не утруждаются  решением таких задач. А вот те, кто действительно хочет знать больше будут искать способы, как научиться их решать. В лицеях с математическим уклоном, конечно же такие задачи разбирают, возможно и на уроках. В обычных же школах на данную тему отводится от силы 2-3 урока, и то в конце года. Учителя в этом, естественно не виноваты. Такая программа. Самостоятельно изучить эту тему возможно лишь в том, случае, если есть непреодолимое желание научиться их решать. А научиться можно, если начать с легких уравнений, то есть по принципу "от простого к сложному".
Возьмём обычное простенькое уравнение. Например: 2х=1.
Для того, чтобы составить множество различных уравнений такого типа мы можем заменить  коэффициент 2 на другое какое-нибудь число, тогда получим бесконечный ряд следующих уравнений:

    ........
  • если а=3, то 3х=1
  • если а=4, то 4х=1
  • если а=5, то 5х=1
  • если а=6, то 6х=1
  • если а=7, то 7х=1
      и так далее
 
И теперь, поскольку, этот ряд бесконечен, и все уравнения выписать  просто невозможно, то все числа, которые мы можем  подставить  вместо двойки, обозначим буквой а. Получим уравнение 
 
 
ах=1
 
Это и есть уравнение с параметром, где а- это параметр.
 
Решим данное уравнение ах=1. Уравнение качественно меняется при а=0 - этот случай рассмотрим отдельно. Всего может быть 2 случая:
  1. а=0
  2. аНеравно, математический символ, знак неравенства 0
Рассмотрим эти случаи
  1.  Если а=0, то 0х=1 не верно, поэтому решений нет.
  2.  Если аНеравно, математический символ, знак неравенства 0, то х=1/а
 
Ответ:  при а=0, нет решений
          при аНеравно, математический символ, знак неравенства0, 1/а
 
 

Определение уравнения с параметром

 
 
 
      Вот простое определение уравнения с параметром и ещё одна формулировка:
  • Уравнение, в котором помимо переменной содержится буквенное выражение, называется уравнением с параметром.
  • Если в уравнении некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение параметрическим.
Другими словами это уравнение с двумя переменными х и а. Если придать параметру а какое-нибудь фиксированное значение, то уравнение можно рассматривать как уравнение с одной переменной х. 
Например, такая запись, как
 
F(x;a)=0   *
 
 
     Это краткая запись семейства уравнений. Уравнения этого семейства получаются из уравнения F(x;a)=0 при различных конкретных  значениях параметра а. Например уравнение
2а(а-2)х=а-2
есть краткая запись следующего семейства уравнений
  • если а=-1, то 6х=-3
  • если а=0, то 0х=-2
  • если а=1, то -2х=-1
  • если а=2, то 0х=0
  • если а=3, то 6х=1
Решить уравнение с переменной х и параметром а - это значит решить  семейство уравнений, получающихся из уравнения * при всех действительных значениях параметра а.
 
Все уравнения из данного семейства выписать практически невозможно, поэтому их разделяют на подмножества по какому-то определенному признаку и решают уравнение на каждом из из этих подмножеств.
 
 
 

Как разбивать на подмножества?

 

 
 

     Чтобы разбить на подмножества, удобно воспользоваться теми значениями параметра, при которых происходят качественные изменения уравнения. Такие значения называют контрольными. Как их обнаружить и как разбить на подмножества? Для каждого уравнения нужно рассмотреть конкретный случай. Поэтому натаскать на этом этапе не получится, потому что нет одного  готового алгоритма для всех случаев. Как это сделать можно увидеть на примерах.

 

 

 

Как правильно записать ответ?

 

 
 

     Остался ещё один вопрос. Как правильно записать ответ? Вы заметили, что при решении задач с параметрами возможны разные варианты ответов.  Это зависит от значений параметра и от того на сколько подмножеств разбили решение. Ответ, как всегда, получается необычный, даже, можно сказать громоздкий, ведь решение ветвится  в зависимости от параметра. Каждое уравнение с параметром представляет собой серию уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение.

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
 


 

 
 
 
 
 

 

 

 

 

 

 


 

 

 


 

 

 

 

 


 
 
 
 
 
 
 
 
   
Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.