» » Иррациональные уравнения
Информация к новости
  • Просмотров: 2 525
  • Автор: abubakirova
  • Дата: 14-12-2014, 21:04
14-12-2014, 21:04

Иррациональные уравнения

Категория: уравнения

 

 

 

   Для начала рассмотрим решение первого  ,так называемого простенького уравнения. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

             24-10х=(3-4х),теперь раскроем скобки по формуле  24-10х=9-24х+16х2 , перенеся все в одну сторону,  получаем квадратное уравнение 16х2-14х-15=0. Решаем квадратное уравнение. D=196+960=342 , x1=(14+34)/32=3/2  ; х2=(14-34)/32=-20/32=-5/8. Получили два корня. Теперь найдем ОДЗ ( область допустимых значений) . Для этого решим неравенство : так как подкоренное выражение не может быть отрицательным числом, то правая часть должна быть неотрицательной 3-4х≥0 ; -4х≥-3 умножив обе части неравенства на -1 и поменяв знак неравенства ,получим 4х≤3 или х≤3/4. Поэтому корень 3/2 не принадлежит ОДЗ, так как 3/2 > 3/4. Отсюда следует  ответ : -5/8.

     А теперь давайте решим второе уравнение. Это уравнение называется уравнением со взаимно-обратными выражениями, поэтому если мы обозначим выражение √(х/(х+1))=у , тогда обратное выражение примет вид √((х+1)/х)=1/у. Отсюда получим следующее уравнение   у+2/у=3. Приведем к общему знаменателю у. В числителе имеем  у2-3у+2=0. Решив квадратное уравнение  получим у1=1 ; у2=2. Теперь возвращаемся к замене √(х/(х+1))=1 . Возведём обе части уравнения в квадрат . Получим х=х+1 , решений нет. Теперь применим второй корень √(х/(х+1))=2. Возведём обе части в квадрат, получим х/(х+1)=4 отсюда х=4(х+1) или 3х=-4 и находим корень уравнения х=-4/3. Находим ОДЗ: х€(-∞;-1)υ(0;+∞). Итак получим ответ:-4/3.

       Теперь немного из теории. Уравнение вида √f(x)=g(x)   равносильно следующей системе f(x)=g2(x) и g(x)≥0. Если в уравнении  корней два и больше , нужно возводить в квадрат два раза . При каждом возведении в квадрат  нужно проследить , чтобы не появился " посторонний корень", что  может произойти за счет расширения ОДЗ, либо "потеря корня" за счет сужения ОДЗ. Теперь  ясно, что ОДЗ имеет немаловажное значение при решении таких уравнений. Поэтому надо быть осторожным. Рассмотрим такое уравнение , которое показывает , как может измениться  ОДЗ  при разложении на множители. х√(х-3)-2=2х-√((х-3).Перенесем все в левую часть уравнения. х√(х-3)-2-2х+√((х-3)=0 . Сгруппируем и вынесем за скобки общий множитель √(х-3)(х+1)-2(х+1)=0. А теперь вынесем за скобки (х+1)(√(х-3)-2)=0. Корень первого множителя х+1 не попадает в ОДЗ второго, поэтому его нужно отбросить. Приравняв к нулю второй множитель , получим корень уравнения х=7. Ответ : 7.

Есть ещё много нюансов при решении иррациональных уравнений. Например иногда  забывают уединить корень  и поэтому решение не получается. Вот к примеру простенькое уравнение √(х+8)-х=-2. Прежде чем возводить в квадрат , в таких случаях, нужно уединить корень. Это будет выглядеть так √(х+8)=х-2 , теперь можно возвести в квадрат обе части. Попробуйте решить это уравнение самостоятельно. Ответ должен получиться таким х= (5+√41)/2.

         Кроме того встречаются и такие уравнения , где уединить корень невозможно. Тогда приходится возводить в квадрат повторно. К примеру рассмотрим такое уравнение √(15+5х)-√(19-5х)=2. Найдем ОДЗ: решим систему неравенств 15+5х≥0 и 19-5х≥0. Отсюда имеем х≥-3  и х≤19/5. Объединяя  решения , получим х€[-3;19/5]. Но это мы нашли лишь ОДЗ. Терерь решаем. Перепишем уравнение в виде √(15+5х)=√(19-5х)+2.Так как на области определения обе части  уравнения неотрицательны, возведем в квадрат. Тогда получим 15+5х=19-5х+4√(19-5х)+4. Приведя подобные, получим 2√(19-5х)=5х-4 .Отсюда повторно возведя в квадрат обе части уравнения,  имеем 76-20х=(5х-4)2. Раскрыв скобки решаем квдратное уравнение 5х2-4х-12=0. Учитывая ОДЗ,где х≥4/5 находим корень  х=2. Ответ:2.

А теперь решите самостоятельно следующие иррациональные уравнения.А5 - Картинка 8428/16

1.√(35-5х)=9-2х

2.√(4-6х-х2)=х+4

3.√(х+4)+х=2

4.√(3х-5)-√(4-х)=1

5.7-√(х+1)=2

6.√(7-х)•√(7+х)=х

7.√(5х-6)=√(х-12)

8.(х+1)√(2х+37)=0

9.√(х2+3х)+√(х2+3х+1)=1

10.3√(х+15)-3√(х-4)=1

11.√((3-х)(х-1)+3√((х-1)(3-х))=4

 

Ответы:

1.2

2.-1

3.0

4.3

5.24

6.7√2/2

7.корней нет

8.-1 ; -37/2

9.-3; 0

10.-23 ;12.Решение: поскольку мы уравнения с кубическим корнем не разбирали, давайте посмотрим его решение. Введем замену 3√(х+15)=z ,3√(x-4)=t, тогда получим следующую систему z-t=1 и z3-t3=19. Разложим второе уравнение на множители (z-t)(z2+zt+t2)=19. Если z-t=1, то  z2+zt+t2=19 . Решаем симметричную систему. z+(-t)=1 и (z-t2)-3z(-t)=19. z(-t)=-6 и z+(-t)=1 ; Отсюда корни z1=3,t1=2  и  z2=-2,t2=-3. Возвращаемся к замене 3√(х+15)=3 <=> х=12   и 3√(х+15)=-2 <=> х=-23.

Ответ:-23 ; 12.

11. 4 ;6/5.

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.