» » Решение уравнений с параметрами. От простого к сложному. Урок 9.
Информация к новости
  • Просмотров: 818
  • Автор: abubakirova
  • Дата: 10-01-2017, 22:02
10-01-2017, 22:02

Решение уравнений с параметрами. От простого к сложному. Урок 9.

Категория: параметры

 

Решение уравнений с параметрами.

От простого к сложному.

Урок 9.

 
 
Все уроки по теме:"Решение уравнений с параметрами" вы можете посмотреть здесь
 
 
 

Задача

 
 
Найдите все значения параметра  а, при каждом из которых уравнение 
 
 
|5/x  - 3| =a·x-2
 
на промежутке (0;+беск.) имеет более двух корней.
 

Решение

Рассмотрим функцию f(x)=ax-2 и g(x)=|5/x  - 3|. Исследуем уравнение у(х)=g(x) на промежутке (0;+беск.).
 
при а 0 все значения функции f(x) на промежутке (0;+беск.) отрицательны, а все значения функции g(x) неотрицательны , поэтому при а<0 уравнение у(х)=g(x)  не имеет решений на промежутке (0;+беск.)
     При а >0 функция f(x) возрастает. Функция g(x) убывает на промежутке  (0;5/3), поэтому уравнение f(x)=g(x) имеет не более одного решения.на промежутке (0;5/3), причем уравнение будет существовать  тогда и только тогда, когда f(5/3) 2-5х+5=0 Будем считать, что а>0, поскольку случай а<0был уже рассмотрен выше.  Дискриминант квадратного уравнения  D=25-20a, поэтому при а>5/4 это уравнение не имеет корней; при а=5/4, уравнение имеет единственный корень, равный 2, а при 0<a<5/4 уравнение имеет два корня.
 
Если уравнение имеет два корня х1 и х2, то есть 0<a<5/4 , то больший корень  х2=(5+VD):(2а)  > 5/2a > 2 > 5/3
                                                                                                   
 
поэтому он принадлежит промежутку (5/3;+ беск.) тогда и только тогда , когда а(х-5/3)(х2-5/3)=а(5/3)2-5·5/3+5=(25а-30):9  >0
                                                                                                                                            
 
то есть а>5/6.
Таким образом, уравнение |5/x-3|=ax-2 имеет следующее количество корней  на промежутке (0;+беск.)
  • нет корней при а<0;
  • один корень при 0<a<6/5  и a>5/4
  • два корня при a=6/5 ;  a=5/4
  • три корня при 6/5<a<5/4
Ответ: 6/5<а<5/4.
 
 
Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.