» » Решение уравнений с параметрами. Задание 18. От простого к сложному. Урок 2.
Информация к новости
  • Просмотров: 384
  • Автор: abubakirova
  • Дата: 31-12-2016, 11:34
31-12-2016, 11:34

Решение уравнений с параметрами. Задание 18. От простого к сложному. Урок 2.

Категория: параметры

 

 

Решение уравнений с параметрами.

Урок 2.

 

"Математикой надо заниматься в своё удовольствие."      
 
 
Все уроки по теме:"Решение уравнений с параметрами" вы можете посмотреть здесь
 
 
 
 
     Как я уже обещала, давайте для начала, разберем  пункт 27 учебника за 8 класс авторов Ю.Н.Макарычев, М.Г.Миндюк и др. Решим все уравнения, которые там есть. Кстати, там очень много текстовых задач, которые полезно решать при подготовки к ЕГЭ. Найдите на странице 144  "Дополнительные упражнения к главе 3" начиная с №698 до №723 - текстовые задачи. (№659 уравнение с параметром). И далее №698-723 тоже текстовые задачи-которые, наверняка, не все решали в 8 классе, ведь многие даже не заглядывают на такие страницы учебника и даже учителя, за не имением времени.
     Здесь же вы найдете дополнительные упражнения с параметром, это №672-689.
Итак, начнем по порядку.
 

"Для тех, кто хочет знать больше."

 
 Уравнения с параметром.
 
Рассмотрим следующие уравнения:
  1. 7х=5
  2. 3х=5
  3. 0х=5
Данные уравнения можно объединить, записав в виде ах=5, где а - некоторое число.

Первое уравнение, в котором а=7 имеет корень х=5/7.
Второе уравнение, в котором  а=3, имеет корень а=5/3
Третье уравнение, где а=0, не имеет корней, так как на нуль делить нельзя.
 


     Далее читаем текст учебника:
Рассматривая уравнение ах=5, мы придавали буквам а и х различный смысл, считая, что буквой х обозначено неизвестное  число, а буквой а - некоторое фиксированное число. В таких случаях говорят, что а является параметром,  ах=5 - уравнение с параметром.
Для уравнения ах=5 мы выяснили, что при любом значении параметра а, не равном нулю, корень уравнения можно найти  по формуле х=5/а,  при а=0 это уравнение корней не имеет. В таких случаях говорят, что мы решили уравнение с параметром.
Вообще решить уравнение с параметром - это значит показать, каким образом для любого значения параметра можно найти  соответствующее множество корней уравнения, если корни существуют, или установить, что при этом значении параметра корней нет. Рассмотрим примеры.
 
     Итак, как вы уже поняли из вышеизложенного текста, строгого определения уравнения с параметром не дано. Точнее, что такое уравнение с параметром можно понять лишь решая сами уравнения. Но их очень много и они все разные. Поэтому, решив одно уравнение нельзя делать вывод, что они очень легкие. Они не легкие! Потому что решаются все по-разному. Конечно можно их классифицировать по методам решения, но этого никто ещё не делал. Сделавший такое, обнаружит новый предмет, под названием "Задачи с параметрами", который стоило бы изучать в школе. Но, увы. Пока мы на этом этапе остановимся. И будем решать как слепые котята, разнообразные примеры - разнообразными способами. На третьем уроке рассмотрим уравнение с параметром из ЕГЭ, решение которого возможно будет понятно всем, даже восьмиклассникам. Там ничего особенного, выходящего за рамки школьной программы нет.
 

Решение уравнений

 
 

 Уравнение №1.

 
Решите уравнение bx-3x=b3-3b2+4b-12 с параметром b.
 
Вот решение из учебника:
 

 


 

А вот решение предложенное мной. Здесь решение представлено методом нахождения контрольных значений параметра и разделения на подмножества.

 

 

 

 

 

Уравнение №2.

 

Ещё одно уравнение.

 

 

 

 

Решите уравнение ах2+ (а2-1)х+(а-1)2=0 с параметром а.

 

Решение: из уравнения видно, что оно качественно меняется при  а=0 или а=1, так как при хкоэффициент   k=a,  при х коэффициент  k=(a2-1). Рассмотрим три подмножества

  1. а=0
  2. а=1
  3. а не равно 0 и а не равно 1
1. Если а=0, то уравнение примет вид 0х2+(0-1)х+(0-1)2=0
-х+1=0
х=1
2. Если а=1, то уравнение примет вид 1х2+0х+(1-1)2=0
х2+0=0
х2=0
х=0
 
3. Если а не равно 0 и а не равно 1
Данное уравнение квадратное относительно х.
ах2+ (а2-1)х+(а-1)2=0
 
где
а=а
b=2-1)
c=(а-1)2
 
Найдем дискриминант D=2-1)2-4a(а-1)2=(a-1)(a+1)2-a(а-1)2=(a-1)(a2+2a+1-4a)=(а-1)2(a2-2a+1)=(а-1)2(а-1)2=(а-1)4
Так как D неотрицательный, то это уравнение имеет корни при любом а.
Если D=(a-1)4, то
x1=1-a2-(a-1)2 =  
       2a
=1-a2-(a2-2a+1)
       2a
=1-a2-a2+2a-1
       2a
=-2a2+2a
    2a
=2a(1-a)
     2a
=1-a
 
x2=1-a2+(a-1)2 =  
       2a
x2=1-a2+a2--2a+1 =  
       2a
=2-2a=
   2a
=2(1-a)
   2a
=1-a
   a


 
Ответ :
при а=0,х=1
при а=1, х=0
при а не равно 0 и а не равно 1, х1=1-а и х2=(1-а)/а.
 
Остальные уравнения из данной книги продолжим решать на уроке №3, следите за обновлениями.
А вот книжное решение:

 

 



 
 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 




 
 
 
 
 
 
Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.