» » Миникурс. Применение теорем Менелая, Чевы и Ван-Обеля для решения задач ЕГЭ. Урок 5. Решение задач ЕГЭ.
Информация к новости
  • Просмотров: 4263
  • Автор: abubakirova
  • Дата: 18-06-2017, 18:45
18-06-2017, 18:45

Миникурс. Применение теорем Менелая, Чевы и Ван-Обеля для решения задач ЕГЭ. Урок 5. Решение задач ЕГЭ.

Категория: Изучение, геометрия, 11 класс

Миникурс.
 
 

Применение теорем Менелая, Чевы и Ван-Обеля для решения задач ЕГЭ.
 
 
 
                                                                Маленькая обезьянка с бананом картинка смайлик
Медиана-обезъяна
у которой зоркий глаз
Прыгнет точно в середину
Стороны против вершины
Где находится сейчас
(шуточное определение) 
 
 
Все уроки на данную тему вы можете посмотреть  здесь

 

 

 
            Теоремы Менелая, Чевы и Ван-Обеля  значительно упрощают решение как планиметрических задач, так и стереометрических задач. Задачи на отношения объёмов все чаще  встречаются в КИМах ЕГЭ не только в части С, но и в первой части.
 
 
 
Урок 5.
 
Решение задач ЕГЭ
 
       Для начала рассмотрим не сложную задачу на применение теоремы Менелая, а затем возьмем и задания С2, чтобы выяснить для себя как применять вышеупомянутую теорему на деле.
 
 
Задача 1.
 
      В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка М так, что ВМ:МС=2:5. Через середину Р отрезка АМ проведена прямая СР, пересекающая сторону АВ в точке Т. Найдите отношения АТ:ТВ и СР:РТ.
 
Решение:
 
Эту задачу можно решить двумя способами.

Продемонстрируем два способа решения: первый - обычный, второй - с помощью теоремы Менелая.
 
И так первый способ.

Сделаем чертеж.

 

Во-первых, из условия ВМ:МС=2:5 следует, что ВМ=2а, а МС=5а. Провдем прямую MN параллельно СР, где N-точка её пересечения  со стороной АВ.  Тогда применив теорему о пропорциональных отрезках к пресекающимся прямым ВА и ВС, найдем, что ВN=2с, а NТ=5с. Отсюда найдем ВТ=BN+NT=7c, значит, искомое отношение  AT:TB=5:7.
 
Во-вторых, чтобы найти отношение СР:РТ, поступим аналогично, проведем прямую ТК параллельно АМ до её пересечения со стороной ВС в точке К. По теореме о пропорциональных отрезках для пересекающихся прямых  ВА и ВС  получим ВК=7n, KM=5n. Отсюда ВМ=12n. По условию СМ= 5ВМ/2=30n. По теореме о пропорциональных отрезках для пресекающихся прямых СТ и СВ получим СР:РТ=СМ:МК=30n:5n=6:1.
 
Ответ: АТ:ТВ=5:7, СР:РТ=6:1.
 
Второй способ
 
Покажем, как работает теорема Менелая для вычисления отношений отрезков.
 
Прямая  ТС пересекает стороны АВ и продолжение стороны ВМ треугольника МАВ.

 


 

 Составим равенство Менелая, начиная с вершины А: 

АТ · ВС · МР  =1
ТВ  СМ  РА
 
По условию МР = 1
                   РА
 
ВМ=2
МС  5
 
Из последнего равенства следует , что ВС/СМ=7/5. Поэтому АТ/ТВ · 7/5 =1
                                                                        
Прямая АМ пересекает  стороны ТС и ВС и продолжение стороны ТВ  треугольника ТСВ. Составим равенство Менелая, начиная с вершины Т: 

ТР · СМ · ВА =1
РС   МВ  АТ
 
По условию СМ/МВ=5/2, кроме того, найдено АТ/ТВ=5/7, из которого  ВА/АТ= 12/5. Следовательно, 

ТР · 5 · 12 =1
РС   2    5
 
Отсюда ТР/РС=1/6.  Получили те же самые отношения. 
 
Ответ: АТ:ТВ=5:7, СР:РТ=6:1.
 
 
 
Задача из ЕГЭ С2.
 

 
       Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S. На продолжении ребра CD взята точка К так, что KD:KC=3:4 на ребре SC взята точка L так,что SL:LC=2:1.
 
а). Постройте плоскость, проходящую через точки К,И и L:
б). В каком отношении эта плоскость делит объём пирамиды?
 
 
Решение:  Сделаем чертёж.

 

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.