» » Миникурс. Применение теорем Менелая, Чевы и Ван-Обеля для решения задач ЕГЭ. Урок 1. Теорема Менелая.
Информация к новости
  • Просмотров: 1071
  • Автор: abubakirova
  • Дата: 11-06-2017, 18:08
11-06-2017, 18:08

Миникурс. Применение теорем Менелая, Чевы и Ван-Обеля для решения задач ЕГЭ. Урок 1. Теорема Менелая.

Категория: геометрия, 11 класс, С2

                                                   Миникурс. 


 Применение теорем Менелая, Чевы и Ван-Обеля для решения задач ЕГЭ.

 


 "Не считай себя великим человеком
по величине своей тени при заходящем солнце.»
Пифагор
 
   
 
Цель курса: расширить геометрические знания учащихся и подготовить к решению задач повышенного и высокого уровня сложности на экзамене.
 
 
Урок 1 Теорема Менелая
Урок 2 Теорема Чевы
Урок 3 Теорема Ван-Обеля
Урок 4 Теорема Менелая для тетраэдра
Урок 5 Решение задач ЕГЭ

Вводная часть


       Начинаем серию уроков по подготовке к ЕГЭ — решение геометрических задач повышенной и высокой сложности. Эти уроки для тех, кто хочет научиться решать задания 14 и 16, то есть С2 и С4. Как показывает практика, геометрия у нас не на высоте. На профильном экзамене по математике выпускники чаще всего берутся решать задания С1 (уравнение с отбором корней), С3 (сложное неравенство) и С5 (банковскую задачу), а вот геометрические задания, такие как С2 и С4 многие пропускают. Я заметила такую тенденцию, иногда даже учителя не берутся их объяснять, при подготовке к экзаменам сложные геометрические задания упускают из виду. Нельзя сказать, что это делают все, но всё же итоги экзаменов показывают, что выпускники либо плохо справляются, либо вообще не приступают к решению.
        Для того, чтобы восполнить этот пробел, нужны  прочные знания основных геометрических фактов, а также опыт в решении таких задач. Задания С2 и С4 включают в себя не только нахождение какого либо элемента геометрической фигуры, но и доказательство утверждения, сформулированного в условии задачи. Возможно, вот это доказательство  в постановке вопроса  или доказательство в ходе решения задачи, как-раз и пугает школьников, сдающих экзамен. 
        Естественно, задачи с нестандартной постановкой вопроса, можно решить несколькими способами. На данных уроках мы научимся применять  теоремы Менелая, Чевы  и Ван-Обеля к решению геометрических задач ЕГЭ профильного уровня и покажем легкость и простоту по сравнению с другими способами. 
 

В каких случаях полезны  теоремы Менелая, Чевы и Ван-Обеля

 
       В каких случаях полезны данные теоремы? Они полезны при решении задач на доказательства, например, если нужно доказать, что три точки лежат на одной прямой или три прямые пересекаются в одной точке и др. Также теоремы могут быть полезны при доказательстве свойств медиан, высот и биссектрис треугольника, при решении задач на деление отрезков в треугольнике в заданном отношении. Разумеется, данные теоремы помогут быстро и легко справится с задачей повышенной сложности профильного уровня ЕГЭ.
       Задачи, предлагаемые на экзамене можно решить и без теорем Менелая, Чевы и Ван-Обеля, но эти решения будут сложными и объёмными, следовательно не рациональными. К тому же, теоремы имеют стереометрическое обобщение, тем самым этот материал может стать полезным как при решении С4 (планиметрической задачи), так и при решении С2 (стереометрической задачи).

  Теоремы Менелая, Чевы и Ван-Обеля не входят в программу школьного курса геометрии, поэтому нужно дополнительное время для их изучения. Изучив, данные теоремы вы можете расширить и углубить  свои знания и умения, а также они сделают ваши решения простыми и лаконичными. Трудности, связанные с освоением этих теорем оправданы их применением при решении геометрических задач повышенной и высокой сложности.

 

Урок 1


   Теорема Менелая

 


       Менелай Александрийский жил в Древней Греции (ок.100 лет н.э.) - ученый математик и астроном, инженер - гидравлик. Оставил много трудов, которые были переведены на арабский, латинский и др. языки. Главное его сочинение "Сферика" была написана в трех книгах, где рассматривались сферические треугольники.

 


 

         

 Теорема

 

  • Пусть дан треугольник АВС и прямая, пересекающая стороны этого треугольника или их продолжения и не проходящая ни через одну вершину этого треугольника. Пусть эта прямая пересекает сторону АВ в точке С1, сторону ВС в точке А1, и продолжение стороны СА в точке В1. Тогда справедливо равенство 

 


 

       Данное равенство можно записывать в любом направлении по часовой стрелке или против часовой стрелки. Начинать можно с любой вершины. Эта теорема доказана в третьей книге "Сферика" Менелая Александрийского. Итальянский математик Джованни Чева в 1678 году предложил доказательство теоремы Менелая и родственной ей теоремы Чевы для плоского случая.
       Теорема Менелая - критерий принадлежности трех точек одной прямой. Данную теорему можно применять  при решении задач на доказательство и вычисление длин отрезков.
 
Другая формулировка теоремы Менелая:
 
  • Пусть на сторонах АВ,ВС и  на продолжении стороны АС (либо на продолжениях сторон АВ,ВС и АС) треугольника АВС взяты  взяты соответственно точки А11 и С1 не совпадающие с вершинами треугольника. Точки А1В1С1 лежат на одной прямой  тогда и только тогда, когда выполняется равенство 

 


 
 
 

Доказательство теоремы Менелая
 
Доказательство: 
                                             
  • Из точки С проведем прямую СК параллельную  стороне АВ
  • Рассмотрим треугольники СКВ1 и АС1В1.  В данных треугольниках  угол В-общий, углы С1АВ1 и КСВ1 равны как соответственные, так как образованы секущей АВ1 при параллельных прямых АС1 и СК. Отсюда следует треугольники СКВ1 и АС1В1 подобны.
  • Из подобия треугольников СКВ1 и АС1В1 следует отношение : 

     


     

  • Выразим из этого отношения СК  

  •  

     Теперь рассмотрим два других треугольника АКС и С1ВА1. В данных треугольниках  углы ВА1С1  и КА1С1 равны, как накрест лежащие при секущей С1К и параллельными прямыми С1В и СК. Отсюда следует, что треугольники  АКС и С1ВА1 подобны.

  • Из подобия данных треугольников следует отношение 

  •  

     Выразим из этого отношения  тоже СК   

     

 

 

 Так как с одной стороны

 

     и с другой стороны  

 

 

то правые части равны. Получим равенство 

 

=

 

 


  •  Умножим на обратную дробь обе части равенства 

  •  

     После сокращения в правой части получим 1, а в левой отношение                                   

                                                           

     

 Это и есть равенство Менелая, которое мы должны были доказать.
 
 

 

 
              Нельзя не сказать о том, что теорема Менелая вошла в золотой фонд древнегреческой математики.
 
 

 
 
Решение задач
 
        Для того, чтобы применять теорему Менелая  к решению задач нужно правильно выбрать треугольник и секущую, так чтобы два отношения в полученном равенстве были известны, тогда легко найти третье. А дальше все легко и просто решается.

 
Задача №1
 
     На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты точки M и N


так, что АМ = CN  =2 . Отрезки BN и CN пересекаются в точке К. Найдите отношение отрезков  ВК
          MB    NA                                                                                                  КN .
 
Решение.

Сделаем чертеж 

 Найти отношение ВК/КN. Рассмотрим треугольник АВN и секущую МС, которая пересекает стороны АВ,ВN,AN  в точках М,К и С соответственно. Обратите внимание на то, что сторону АN  прямая МС пересекает на продолжении стороны АN. По теореме Менелая справедливо равенство


АМ·ВК·NC  =1     Подставим значения 

МВ КN CA

 

· ВК·   =1     Отсюда найдем искомое отношение

 х  КN  3х

 

4·ВК =1

3·КN

 

BK =3

KN   4

 

Ответ:0,75

 

Задача №2

 

 

В треугольнике АВС   АD-медиана, точка О- середина медианы. Прямая ВО пересекает сторону АС в точке К. В каком отношении точка К делит АС, считая от точки А?
 
 
Решение.

 Сделаем чертеж. 

 

 
Рассмотрим треугольник АDC прямая ВК пересекает сторону  АD  в точке О, сторону АС в точке К,  и продолжение стороны СD в точке В. Тогда по теореме Менелая имеем отношение
 
АК · СВ · DO  = 1
KC   BD  OA
 

Подставим значения 

АК ·  · у  =1
КС   х    у
 
АК · 2  =1
КС ·1
 
АК  = 1
КС     2
 
Ответ: 0,5

                                                         Задача №3
 
В треугольнике АВС на стороне АС взята точка М, а на стороне ВС - точка К так, что АМ:МС=2:3, а ВК:КС=4:3. В каком отношении АК делит отрезок ВМ?
 
Решение:  Сделаем чертеж   

 Рассмотрим треугольник МВС, где АК-секущая. Тогда по теореме Менелая имеем следующее отношение сторон

 

ВО · МА · СК  = 1

ОМ   АС   КВ

 

Подставляя значения получим

 

ВО · ·  = 1

ОМ   5х  4у

 

ВО · 6  = 1

ОМ  20

 

ВО  = 10

ОМ     3

 

Ответ: 10/3.

Решение задач по данной теме вы можете посмотреть в следующих статьях.

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.