» » ЕГЭ-2016. Решение задания 18. Часть С. Геометрия. Задача на окружности.
Информация к новости
  • Просмотров: 625
  • Автор: abubakirova
  • Дата: 7-07-2016, 20:36
7-07-2016, 20:36

ЕГЭ-2016. Решение задания 18. Часть С. Геометрия. Задача на окружности.

Категория: геометрия

 ЕГЭ-2016. Решение задания 18. Часть С. Геометрия. 
 

 Задача на окружности.
 
 

 

17.Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке A, причём мень­шая про­хо­дит через центр боль­шей. Хорда BC боль­шей окруж­но­сти ка­са­ет­ся мень­шей в точке P. Хорды AB и AC пе­ре­се­ка­ют мень­шую окруж­ность в точ­ках K и M со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые KM и BC па­рал­лель­ны.

б) Пусть L – точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков KM и AP. Най­ди­те AL, если ра­ди­ус боль­шей

окруж­но­сти равен 10, а BC = 16.


Решение.

А) Доказательство (1-й способ).

Проведем через точку Акасательную АDк окружностям.

.

А) Доказательство (2-й способ).

Рассмотрим гомотетию с центром в точке Аи коэффициентом 2.

. По свойству гомотетии .

[Кроме того, При этом АВ=2АК,АС=2АМ,АР=2АL,ВС=2МК]

Б) В решении будем использовать, что МиК– середины сторон АСи АВтреугольника АВС, что следует из 2-го способа доказательства пункта (А).

1)

2) По свойству касательной и секущей:ВР2=ВК∙ВА,ВР2=ВК∙(2ВК), откуда Аналогично получаем

3) Пусть РВ=2х, тогда СР=16-2х,

По теореме косинусов для треугольника АВСимеем: , откуда .

4) По свойству пересекающихся хорд:ALPL=KLML.

Так как KL=х,ML=8, AL=PL, то

х∙(8-х)=AL2,AL2=,AL=.

Ответ:.

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.