» » Тренировочная работа по математике с решениями и ответами. ЕГЭ-2016. Геометрия. Базовый уровень.
Информация к новости
  • Просмотров: 17331
  • Автор: abubakirova
  • Дата: 2-12-2015, 21:13
2-12-2015, 21:13

Тренировочная работа по математике с решениями и ответами. ЕГЭ-2016. Геометрия. Базовый уровень.

Категория: геометрия, Базовый-2016

Тренировочная работа по математике . ЕГЭ-2016. Геометрия. Базовый уровень.

 

 

 

 

Задание 1

Ко­ле­со имеет 5 спиц. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла (в гра­ду­сах), ко­то­рый об­ра­зу­ют две со­сед­ние спицы.

Решение.

Спицы делят ко­ле­со на пять рав­ных сек­то­ров, а зна­чит, делят пол­ный угол 360° на 5 рав­ных углов по 72° каж­дый.

 

 

В дей­стви­тель­но­сти, спицы не все­гда делят ко­ле­со на рав­но­ве­ли­кие сек­то­ра.

 

Ответ: 72.

 

Задание 2

Са­до­вод решил раз­бить на своём дач­ном участ­ке 4 квад­рат­ные клум­бы и 8 клумб в виде пра­виль­ных тре­уголь­ни­ков, ого­ро­див каж­дую из них не­боль­шим за­бор­чи­ком. Длина каж­дой сто­ро­ны у любой клум­бы равна од­но­му метру. Най­ди­те общую длину всех за­бор­чи­ков в мет­рах.

Решение

Длина всех за­бор­чи­ков равна пе­ри­мет­ру че­ты­рех квад­ра­тов и вось­ми пра­виль­ных тре­уголь­ни­ков. Пе­ри­метр квад­ра­та со сто­ро­ной 1 равен че­ты­рем, а зна­чит пе­ри­метр че­ты­рех квад­ра­тов равен 16. Пе­ри­метр пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка со сто­ро­ной 1 равен 3, а зна­чит пе­ри­метр вось­ми пра­виль­ных тре­уголь­ни­ков равен 3 · 8=24.

Длина за­бор­чи­ков 24+16=40.

 

Ответ: 40.





Задание 3

План мест­но­сти раз­бит на клет­ки. Каж­дая клет­ка обо­зна­ча­ет квад­рат 1 м × 1 м. Най­ди­те пло­щадь участ­ка, изоб­ражённого на плане. Ответ дайте в квад­рат­ных мет­рах.

Решение.

Уча­сток, изоб­ра­жен­ный на плане, пред­став­ля­ет собой пря­мо­уголь­ник, пло­щадь ко­то­ро­го равна про­из­ве­де­нию длин его сто­рон. Таким об­ра­зом пло­щадь участ­ка: 3 · 3 − 1= 8.

 

Ответ: 8.

Задание 4

На ри­сун­ке по­ка­за­но, как вы­гля­дит ко­ле­со с 7 спи­ца­ми. Сколь­ко будет спиц в ко­ле­се, если угол между со­сед­ни­ми спи­ца­ми в нём будет равен 18°?

Решение.

Для того, чтобы узнать сколь­ко спиц по­тре­бу­ет­ся, нужно 360° раз­де­лить на 18°. По­лу­чим 20 спиц.

 

Ответ: 20.

Задание 5

Элек­три­ку ро­стом 1,8 метра нужно по­ме­нять лам­поч­ку, за­креплённую на стене дома на вы­со­те 4,2 м. Для этого у него есть лест­ни­ца дли­ной 3 метра. На каком наи­боль­шем рас­сто­я­нии от стены дол­жен быть уста­нов­лен ниж­ний конец лест­ни­цы, чтобы с по­след­ней сту­пень­ки элек­трик до­тя­нул­ся до лам­поч­ки? Ответ за­пи­ши­те в мет­рах.

Решение.

Найдём это рас­сто­я­ние:

 

 

Ответ: 1,8

Задание 6

Дач­ный уча­сток имеет форму пря­мо­уголь­ни­ка, сто­ро­ны ко­то­ро­го равны 40 м и 30 м. Раз­ме­ры дома, рас­по­ло­жен­но­го на участ­ке и также име­ю­ще­го форму пря­мо­уголь­ни­ка, — 9 м × 6 м. Най­ди­те пло­щадь остав­шей­ся части участ­ка. Ответ дайте в квад­рат­ных мет­рах.

Решение.

Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его длины на ши­ри­ну, по­это­му пло­щадь участ­ка равна 40 · 30=1200 кв.м. Пло­щадь дома равна 6 · 9 = 54 кв.м. Тем самым, пло­щадь участ­ка, не­за­ня­то­го домом равна 1200 − 54 = 1146 кв.м.

 

Ответ: 1146.

Задание 7

Бас­сейн имеет пря­мо­уголь­ную форму, имеет длину 50 м и раз­делён на 6 до­ро­жек, ши­ри­ной 2,5 м каж­дая. Най­ди­те пло­щадь этого бас­сей­на.


Ши­ри­на бас­сей­на равна 6 · 2,5 = 15 мет­ров, по­это­му его пло­щадь равна 50 · 15 = 750 квад­рат­ных мет­ров.

 

Ответ: 750.

Задание 8

Пе­ри­ла лест­ни­цы дач­но­го дома для надёжно­сти укреп­ле­ны по­се­ре­ди­не вер­ти­каль­ным стол­бом. Най­ди­те вы­со­ту l этого стол­ба, если наи­мень­шая вы­со­та h1 перил от­но­си­тель­но земли равна 1,4 м, а наи­боль­шая h2 равна 2,4 м. Ответ дайте в мет­рах.

Решение.

За­ме­тим, что дан­ная кон­струк­ция пред­став­ля­ет собой тра­пе­цию, а столб — сред­няя линия дан­ной тра­пе­ции. Длина сред­ней линии тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний:

 

Ответ: 1,9.

Задание 9

Уча­сток земли имеет пря­мо­уголь­ную форму. Сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка 25 м и 70 м. Най­ди­те длину за­бо­ра (в мет­рах), ко­то­рым нужно ого­ро­дить уча­сток, если в за­бо­ре нужно преду­смот­реть во­ро­та ши­ри­ной 4 м.

Решение.

Забор пред­став­ля­ет собой пря­мо­уголь­ник с от­сут­ству­ю­щим ку­соч­ком на одной из сто­рон. Пе­ри­метр дан­но­го пря­мо­уголь­ни­ка без учёта проёма: 2(70+ 25) = 190 м. Учи­ты­вая длину проёма, по­лу­чим, что длина за­бо­ра: 190 − 4 = 186 м.

Задание 10

План мест­но­сти раз­бит на клет­ки. Каж­дая клет­ка обо­зна­ча­ет квад­рат 1м × 1м. Най­ди­те пло­щадь участ­ка, вы­де­лен­но­го на плане. Ответ дайте в квад­рат­ных мет­рах.

Решение.

Уча­сток, изоб­ра­жен­ный на плане, пред­став­ля­ет собой ромб. Пло­щадь ромба равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей. Таким об­ра­зом, пло­щадь участ­ка равна

 

м2.

Ответ: 8.

Задание 11

В бак, име­ю­щий форму пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­мы со сто­ро­ной ос­но­ва­ния, рав­ной 40 см, на­ли­та жид­кость. Чтобы из­ме­рить объём де­та­ли слож­ной формы, её пол­но­стью по­гру­жа­ют в эту жид­кость. Най­ди­те объём де­та­ли, если после её по­гру­же­ния уро­вень жид­ко­сти в баке под­нял­ся на 2 см. Ответ дайте в ку­би­че­ских сан­ти­мет­рах.

Решение.

Объем вы­тес­нен­ной жид­ко­сти равен объ­е­му де­та­ли (закон Ар­хи­ме­да). Уро­вень жид­ко­сти под­нял­ся на h = 2 см, сто­ро­на ос­но­ва­ния a = 40 см, зна­чит вы­тес­нен­ный объем будет равен Най­ден­ный объём яв­ля­ет­ся объёмом де­та­ли.

 

Ответ: 3200.

Задание 12

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC с вер­ши­ной S бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 2; объем пи­ра­ми­ды равен 6. Най­ди­те длину от­рез­ка OS.

Решение.

От­ре­зок вы­со­та тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды , ее объем вы­ра­жа­ет­ся фор­му­лой

 

 

Таким об­ра­зом,

Ответ: 9.

Задание 13

Объем куба равен 12. Най­ди­те объем тре­уголь­ной приз­мы, от­се­ка­е­мой от него плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны двух ребер, вы­хо­дя­щих из одной вер­ши­ны и па­рал­лель­ной тре­тье­му ребру, вы­хо­дя­ще­му из этой же вер­ши­ны.


По­сколь­ку вы­со­та куба равна вы­со­те приз­мы, их объ­е­мы про­пор­ци­о­наль­ны пло­ща­дям их ос­но­ва­ний. Пло­щадь ос­но­ва­ния по­стро­ен­ной приз­мы в 8 раз мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния ис­ход­ной, по­это­му ис­ко­мый объем приз­мы равен 12 : 8 = 1,5.

 

Ответ: 1,5.

Задание 14

Объем од­но­го куба в 125 раз боль­ше объ­е­ма дру­го­го куба. Во сколь­ко раз пло­щадь по­верх­но­сти пер­во­го куба боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти вто­ро­го куба?

Решение.

Объёмы по­доб­ных тел от­но­сят­ся как куб ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия, по­это­му ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен 5. Пло­ща­ди по­верх­но­сти по­доб­ных тел от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия, по­это­му пло­щадь по­верх­но­сти боль­ше­го куба в 25 раз боль­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти мень­ше­го куба.

 

Ответ: 25.

Задание 15

Около ко­ну­са опи­са­на сфера (сфера со­дер­жит окруж­ность ос­но­ва­ния ко­ну­са и его вер­ши­ну). Центр сферы сов­па­да­ет с цен­тром ос­но­ва­ния ко­ну­са. Ра­ди­ус сферы равен Най­ди­те об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са.

Решение.

Вы­со­та ко­ну­са пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию и равна ра­ди­у­су сферы. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра по­лу­ча­ем:

 

 

Ра­ди­ус сферы равен по­это­му об­ра­зу­ю­щая равна

 

Ответ:64.

Задание 16

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

Решение.

Объем дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равен раз­но­сти объ­е­мов па­рал­ле­ле­пи­пе­дов со сто­ро­на­ми 4, 4, 5 и 1, 2, 1:

 

.

Ответ: 78.

Задание 17

Объём тет­ра­эд­ра равен 19. Най­ди­те объём мно­го­гран­ни­ка, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся се­ре­ди­ны рёбер дан­но­го тет­ра­эд­ра.

Решение.

Объем дан­но­го мно­го­гран­ни­ка равен раз­но­сти объ­е­мов ис­ход­но­го тет­ра­эд­ра и че­ты­рех тет­ра­эд­ров, одни из вер­шин ко­то­рых сов­па­да­ют с вер­ши­на­ми ис­ход­но­го:

 

.

Ответ: 9,5.

Задание 18

Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти про­стран­ствен­но­го кре­ста, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке и со­став­лен­но­го из еди­нич­ных кубов.

Решение.

По­верх­но­сти кре­ста со­став­ле­на из шести по­верх­но­стей кубов, у каж­до­го из ко­то­рых от­сут­ству­ет одна грань. Тем самым, по­верх­ность кре­ста со­сто­ит из 30 еди­нич­ных квад­ра­тов, по­это­му ее пло­щадь равна 30.

 

 

Ответ: 30.

Задание 19

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка M – се­ре­ди­на ребра AB, S – вер­ши­на. Из­вест­но, что BC = 3, а пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды равна 45. Най­ди­те длину от­рез­ка SM.
Решение.

Най­дем пло­щадь грани :

 

 

От­ре­зок яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка , а зна­чит, его вы­со­той. Тогда

 

Ответ: 10.

Задание 20

В куб впи­сан шар ра­ди­у­са 1. Най­ди­те объем куба.

Решение.

Ребро куба равно диа­мет­ру впи­сан­но­го в него шара, а объем куба равен кубу его ребра. От­сю­да имеем:

 

.

Ответ: 8.

Задание 21

Най­ди­те угол пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го , , . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Решение.

В пря­мо­уголь­ни­ке  от­ре­зок яв­ля­ет­ся диа­го­на­лью, , По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный: , зна­чит его ост­рые углы равны

Ответ: 45.

Задание 22

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит квад­рат со сто­ро­ной 2. Бо­ко­вые ребра равны . Най­ди­те объем ци­лин­дра, опи­сан­но­го около этой приз­мы.

Решение.

Диа­го­наль квад­ра­та в ос­но­ва­нии приз­мы яв­ля­ет­ся диа­мет­ром опи­сан­но­го во­круг приз­мы ци­лин­дра. Тогда его объем:

 

.

Ответ: 4.

Задание 23

Даны два ко­ну­са. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния и об­ра­зу­ю­щая пер­во­го ко­ну­са равны, со­от­вет­ствен­но, 2 и 4, а вто­ро­го — 6 и 8. Во сколь­ко раз пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти вто­ро­го ко­ну­са боль­ше пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти пер­во­го?

Решение.

Найдём пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пер­во­го ко­ну­са:

 

 

Найдём пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти вто­ро­го ко­ну­са:

 

 

Найдём от­но­ше­ние пло­ща­дей этих ко­ну­сов:

 

 

Ответ: 6.

Задание 24

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де точка  — центр ос­но­ва­ния, вер­ши­на, , . Най­ди­те длину от­рез­ка .

Решение.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник . Он пря­мо­уголь­ный: т. к. — вы­со­та, она пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию , а зна­чит, и пря­мой , ребра и равны, т. к. пи­ра­ми­да пра­виль­ная. Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

Ответ: 3.

 

 

Задание 25

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 24. Одно из его ребер равно 3. Най­ди­те пло­щадь грани па­рал­ле­ле­пи­пе­да, пер­пен­ди­ку­ляр­ной этому ребру.

Решение.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен , где – пло­щадь грани, а – вы­со­та пер­пен­ди­ку­ляр­но­го к ней ребра. Тогда пло­щадь грани

 

.

Ответ: 8.

Задание 26

Ра­ди­у­сы трех шаров равны 6, 8 и 10. Най­ди­те ра­ди­ус шара, объем ко­то­ро­го равен сумме их объ­е­мов.

Решение.

Объём шара вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле . По­это­му cумма объёмов трёх шаров равна

 

 

Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый ра­ди­ус равен 12.

 

Ответ: 12.

Задание 27

Ра­ди­у­сы двух шаров равны 6, 8. Най­ди­те ра­ди­ус шара, пло­щадь по­верх­но­сти ко­то­ро­го равна сумме пло­ща­дей их по­верх­но­стей.

Решение.

Из усло­вия най­дем, что ра­ди­ус та­ко­го шара

 

.

 

Ответ: 10.

Задание 28

Объём ко­ну­са равен , а его вы­со­та равна . Най­ди­те ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са.

Решение.

Под­ста­вим чис­ло­вые зна­че­ния в фор­му­лу объёма

 

Ответ: 3.

Задание 29

Конус впи­сан в шар. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су шара. Объем ко­ну­са равен 6. Най­ди­те объем шара.

 



Решение.

. .

 

Ответ: 24.

Задание 30

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 6 и 8. Бо­ко­вые ребра равны . Най­ди­те объем ци­лин­дра, опи­сан­но­го около этой приз­мы.

Решение.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра длина ги­по­те­ну­зы тре­уголь­ни­ка в ос­но­ва­нии . По­сколь­ку ги­по­те­ну­за яв­ля­ет­ся диа­мет­ром ос­но­ва­ния опи­сан­но­го ци­лин­дра, его объем

 

.

Ответ: 125.

Уважаемый посетитель, Вы зашли на сайт как незарегистрированный пользователь.
Мы рекомендуем Вам зарегистрироваться либо войти на сайт под своим именем.